1.2. 数値の表現

1. 負の数

　負の数の表現方式には

• 絶対値表現

• 補数表現

の２種類があります。

1.1. 絶対値表現

　絶対値表現は、負の数を表す方法の一つです。この方法では、数の絶対値とその符号を別々に表します。

例えば、8ビットの数を考えてみましょう。

1. 正の数の場合、最上位ビットは0で、残りの7ビットは数値の絶対値を表します。たとえば、\(+5\)₁₀は、\(0000\) \(0101\)として表されます。
2. 負の数の場合、最上位ビットは1で、残りの7ビットは数値の絶対値を表します。たとえば、\(-5\)₁₀は、\(1000\) \(0101\)として表されます。

　この方法では、\(0\)₁₀から\(127\)₁₀までの128の異なる値を表すことができます。ただし、\(+0\)と\(-0\)の両方が存在し、それぞれ\(0000\) \(0000\)と\(1000\) \(0000\)として表されます。正と負それぞれ128なので合計256の数値表現ができます。

　絶対値表現の利点は、人間にとって直感的であることです。しかし、コンピュータのハードウェアで加算と減算を行う際に問題が発生します。たとえば、\(0000\) \(0101\) (\(+5\)₁₀)と\(1000\) \(0101\) (\(-5\)₁₀)を加算すると、\(1000\) \(1010\) (\(-10\)₁₀)になってしまいます。これは期待される結果\(0000\) \(0000\) (\(0\)₁₀)ではありません。符号をみながら計算しないといけません。そのため計算が複雑化することになります。

　このため、絶対値表現は、コンピュータの内部で数を表すためには通常使用されません。ただし、人間が読むことを目的とした場合、たとえば、ディスプレイに数値を表示する場合には、絶対値表現が使用されることがあります。

1.2. 補数表現

　補数表現は、コンピュータで負の数を表すための方法です。2の補数表現が最も一般的に使用されますが、1の補数表現も存在します。

• 1の補数表現:
  　1の補数表現では、数のビットを反転させることで、その数の補数を得ます。つまり、0を1に、1を0に変換します。たとえば、8ビットの数の場合、\(+5\)₁₀は\(0000\) \(0101\)として表されます。\(-5\)₁₀の1の補数は、それぞれのビットを反転させて\(1111\) \(1010\)となります。 1の補数表現の問題は、\(+0\)と\(-0\)の両方が存在し、それぞれ\(0000\) \(0000\)と\(1111\) \(1111\)として表されることとキャリーオーバーの課題があることです。（詳しくは「補数とは何か」参照）
• 2の補数表現:
  　2の補数表現では、数のビットを反転させてから、1を加えることで、その数の補数を得ます。たとえば、8ビットの数の場合、\(+5\)₁₀は\(0000\) \(0101\)として表されます。\(-5\)₁₀の2の補数は、\(1111\) \(1011\)です。 2の補数表現の利点は、加算と減算が通常のバイナリ加算と同じ方法で行えることです。これにより、ハードウェアが単純化されます。また、\(0\)は一意であり、\(+0\)と\(-0\)の区別はありません。

　2の補数表現は、現代のコンピュータで最も一般的に使用される方法です。

2. ２の補数

　2の補数表現は、コンピュータで正数と負数を表すための最も一般的な方法です。この方法では、最上位ビット（最左のビット）が符号ビットとして使用され、そのビットが0の場合、数は正またはゼロであり、そのビットが1の場合、数は負です。

　ここでは、8ビットの数を例に取りますが、他のビット数でも同様です。

1. 正の数とゼロ:
   　正の数とゼロは、通常のバイナリ表現を使用して表されます。最上位ビットは0で、残りのビットは数値を表します。たとえば、\(+5\)₁₀は、\(0000\) \(0101\)として表されます。
2. 負の数:
   　負の数は、その数の2の補数を取ることで表されます。2の補数を取るには、以下の手順を実行します。
   • 数のビットを反転させます。つまり、0を1に、1を0に変換します。
   • 1を加えます。
3. 例:
   　たとえば、-5の2の補数を取るには、以下の手順を実行します。
   • \(+5\)₁₀のバイナリ表現は\(0000\) \(0101\)です。これを反転させると、\(1111\) \(1010\)になります。
   • \(1111\) \(1010\)に\(1\)を加えると、\(1111\) \(1011\)になります。
   • したがって、\(-5\)₁₀は、\(1111\) \(1011\)として表されます。

加算と減算:
　2の補数表現の利点の1つは、加算と減算が通常のバイナリ加算と同じ方法で行えることです。たとえば、\(+5\)₁₀と\(-5\)₁₀を加算すると、\(0000\) \(0101\) + \(1111\) \(1011\) = \(1\) \(0000\) \(0000\)となり、最上位の\(1\)は無視され、結果は\(0000\) \(0000\)（\(0\)₁₀)になります。

範囲:
　8ビットの2の補数表現では、\(-128\)₁₀から\(+127\)₁₀までの整数を表すことができます。最小の数は\(1000\) \(0000\) (\(-128\)₁₀)で、最大の数は\(0111\) \(1111\) (\(+127\)₁₀)です。

オーバーフロー:
　オーバーフローは、結果が表現可能な範囲を超える場合に発生します。たとえば、8ビットの数の場合、\(+127\)₁₀と\(+1\)₁₀を加算すると、\(0111\) \(1111\) \(+\) \(0000\) \(0001\) \(=\) \(1000\) \(0000\)となり、これは\(-128\)₁₀を表します。この場合、オーバーフローが発生します。

　2の補数表現は、現代のコンピュータで最も一般的に使用される方法です。

3. 浮動小数点

3.1. IEEE 754

　IEEE 754は、浮動小数点数の表現と計算のための国際標準です。この標準では、浮動小数点数は以下のように表されます。

• 符号ビット（Sign bit）:
  　1ビット。0は正、1は負を示します。
• 指数部（Exponent）:
  　指数部分を表すビット。指数は、バイアスされた形で格納されます。例えば、32ビットの浮動小数点数では、8ビットが指数部に使われ、バイアスは127です。つまり、実際の指数に127を加えた値が、指数部に格納されます。例えば、指数が+2の場合、この部分の値は129（= 2 + 127）となります。指数部のビットがすべて1の場合とすべて0の場合は特別な意味を持つことからこれを除外し（下記「異なる数値の表現」参照）、-126から+127までの指数を1から254のすべて正の数で表すことになります。これにより高速な計算が可能となります。
• 仮数部（Mantissa or Significand）:
  　仮数部分を表すビット。正規化された数値の場合、最上位ビットは常に1なので、このビットは格納されず、残りのビットだけが仮数部に格納されます。

参考情報

• Wikipedia 日本語版 IEEE 754
  https://ja.wikipedia.org/wiki/IEEE_754
  zh.wikipedia.org
• IEEE公式サイト（IEEE 754-2019）
  https://standards.ieee.org/standard/754-2019.html

また、英語での詳細な解説としては、以下も参考にできます：

• Wikipedia IEEE 754 (英語版)
  https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

3.2. 正規化

　正規化とは、浮動小数点数などの数値を一定の形式に整える作業のことです。
　たとえば、10進数でいうと「123.45」という数字は科学的記数法で「\(1.2345 × 10^{2}\)」と表せます。
　2進数の場合は、数値0.00101は、正規化されて\(1.01×2^{-1}\)となります。
　このように、数字を1以上10未満の部分（または2進数の場合は常に1以上2未満）と、桁数を表す指数に分けることで、一意で効率的な表現が可能になります。

　IEEE 754の浮動小数点数では、正規化（normalized）という方法が使われています。これは、ゼロ以外の数を必ず「1.xxx…」という形に変換する方法です。なぜなら、どんな数もこの形にすると最初の「1」は常に現れるため、実際には保存しなくても「暗黙の1」として利用でき、より多くの桁（精度）を表現できるからです。

3.3. 異なる数値の表現

　IEEE 754標準では、以下の4つの異なる数値表現が定義されています。

1. 正規数（Normal numbers）:
   　これは、最も一般的な浮動小数点数の形です。仮数部は、正規化された数値（最上位ビットが1）を表します。
2. ゼロ（Zero）:
   　全てのビットが0の場合、数値はゼロとして解釈されます。符号ビットだけが1で他が0の場合もゼロ(Zero)となり同様に取り扱われますが、特定の計算では正の0と負の0で意味がある場合もあります。
3. 非正規数（Subnormal numbers）:
   　指数部が全て0で、仮数部が0でない場合、数値は非正規数として解釈されます。これは、非常に小さい数値を表現するために使われます。
4. 無限大（Infinity）と非数（NaN）:
   　指数部が全て1の場合、数値は無限大または非数（NaN）として解釈されます。仮数部が全て0の場合、数値は無限大を表します。仮数部が0でない場合、数値は非数（NaN）を表します。

　32ビットの浮動小数点数は、以下のように構成されます。

• 符号: 1ビット
• 指数: 8ビット
• 仮数: 23ビット

3.4. 単精度浮動小数点・倍精度浮動小数点

　単精度浮動小数点数と倍精度浮動小数点数は、コンピュータで実数を表現するための2つの異なる方法です。（IEEE754では、4倍精度浮動小数点まで標準化されています。）

1. 単精度浮動小数点数 (Single-Precision Floating-Point):
   • 単精度浮動小数点数は、32ビット（4バイト）のメモリを使用して実数を表現します。
   • これらの32ビットは、符号ビット（1ビット）、指数部（8ビット）、および仮数部（23ビット）に分割されます。
   • 単精度浮動小数点数は、約7桁の十進数の精度を持っています。
2. 倍精度浮動小数点数 (Double-Precision Floating-Point):
   • 倍精度浮動小数点数は、64ビット（8バイト）のメモリを使用して実数を表現します。
   • これらの64ビットは、符号ビット（1ビット）、指数部（11ビット）、および仮数部（52ビット）に分割されます。
   • 倍精度浮動小数点数は、約15桁の十進数の精度を持っています。

　これらの数値表現は、IEEE 754標準に従っています。この標準は、浮動小数点数の算術演算、表現、および丸めの方法を定義しています。

　倍精度浮動小数点数は、単精度浮動小数点数よりも高い精度が得られますが、その分メモリを多く消費し、計算に時間がかかる場合があります。そのため、アプリケーションの要件に応じて、適切な精度を選択することが重要です。

3.5. 単精度浮動小数点数の例

　例えば、32ビットの浮動小数点数で、\(-0.75\)₁₀ を表現する場合、以下のようになります。

1. 符号ビットは1（負）
2. \(0.75\)₁₀ を2進数で表すと \(0.11\)₂ です。これを正規化すると、\(1.01×2^{-1}\)となります。
3. 指数部は、\(-1 + 127 = 126\) で、2進数で \(0111\) \(1110\) です。
4. 仮数部は、\(1.10\) の 下位2ビットの\(10\) です。これを23ビットに拡張すると、\(100\) \(0000\) \(0000\) \(0000\) \(0000\) \(0000\) です。

　したがって、\(-0.75\)₁₀ は、\(1\) \(01111110\) \(10000000000000000000000\) として表されます。

4. BCD

　BCD（Binary-Coded Decimal）は、10進数の数字を2進数で表現する方法の一つです。

　32ビットのプロセッサでデータを処理する場合を考えてみます。

　BCDでは、1つの10進数の数字を4ビット（半バイト）で表現します。したがって、1バイト（8ビット）のメモリ空間には2つの10進数の数字を格納することができます。

　32ビットのプロセッサでは、通常、メモリ空間は32ビット（4バイト）単位でアクセスされます。したがって、32ビット（4バイト）のメモリ空間には、BCDで最大8つの10進数の数字を格納することができます。

　例えば、10進数の「\(12345678\)」は、32ビットのメモリ空間に以下のようにBCDで格納されます。

\(0001\) \(0010\) \(0011\) \(0100\) \(0101\) \(0110\) \(0111\) \(1000\)

　上記の例では、32ビット（4バイト）のメモリ空間に8つの10進数の数字がBCDで格納されています。

　BCDのメリットは、10進数と2進数の変換が容易で、人間にとって理解しやすいことです。デメリットは、メモリ効率が悪いことです。通常の2進数では4ビットで16種類の数を表現できますが、BCDでは10種類しか表現できません。

　BCDは、デジタルデバイス、マイクロコントローラ、金融関連のアプリケーションなどで使われます。

5. パック１０進数

　パック10進数は、10進数の数字を効率的に格納するためのデータ形式です。

　32ビットのプロセッサでデータを処理する場合を考えてみます。

　パック10進数では、1バイト（8ビット）を2つの半バイト（4ビット）に分割し、それぞれの半バイトに0から9までの10進数の数字を格納します。ただし、最後の半バイトは、数値の符号（正または負）を表すために使われます。通常、C（1100）は正、D（1101）は負を表します。

　したがって、32ビット（4バイト）のメモリ空間には、パック10進数で最大7つの10進数の数字と1つの符号を格納することができます。

　例えば、10進数の「\(1234567\)」は、32ビットのメモリ空間に以下のようにパック10進数で格納されます。

\(0001\) \(0010\) \(0011\) \(0100\) \(0101\) \(0110\) \(0111\) \(1100\)

　上記の例では、32ビット（4バイト）のメモリ空間に7つの10進数の数字と1つの符号がパック10進数で格納されています。

　パック10進数のメリットは、メモリ効率が良く、10進数のデータを直接扱うことができるため、計算処理が高速になることです。デメリットは、通常の2進数と異なるため、特殊な処理が必要になることです。

　パック10進数は、金融関連のアプリケーション、データベース、COBOLプログラムなどでよく使われます。

6. ゾーン１０進数

　ゾーン10進数（Zoned Decimal）は、コンピュータで文字と数値を一緒に扱うためのデータ形式です。ゾーン10進数は、EBCDIC（Extended Binary Coded Decimal Interchange Code）やASCII（American Standard Code for Information Interchange）などの文字コードを拡張して、数値データを表現します。

　ゾーン10進数では、1バイトを2つの部分に分割します。1バイトの上位4ビットを「ゾーン」と呼び、下位4ビットを「数字」と呼びます。ゾーンは通常、符号や特殊な意味を持たせるために使用されます。数字は、0から9までの10進数の数字を表現します。

　たとえば、EBCDICを使用したゾーン10進数では、10進数の「\(123\)」は、以下のように表現されます。

• ‘1’は、EBCDICの’F1′
• ‘2’は、EBCDICの’F2′
• ‘3’は、EBCDICの’F3′

\(1111\) \(0001\) \(1111\) \(0010\) \(1111\) \(0011\)

　ゾーン10進数のメリットは、文字データと数値データを一緒に扱うことができるため、データの読み書きが容易になることです。デメリットは、メモリ効率が悪く、特殊な処理が必要になることです。

　ゾーン10進数は、COBOLプログラムや、レガシーシステム、データベースなどでよく使われます。

7. 参考情報